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基础解系就是解空间中的一组基,通解是基础解系的线性组合。
接下来,自由未知量分别取如下向量:
然后可以分别得到真未知量的取值:
可以得到解空间的一组基础解系:
证明:首先可以知道是线性无关的,根据r维线性无关的向量组,增加n-r个分量,得到的n维向量组仍旧线性无关这一推论,后n-r个分量线性无关,所以增加r个分量组成的n维向量组也是线性无关的。
从推导过程可以看出:基础解系不惟一,但所含向量个数相等,都 等于 n - r(A). (n为未知量的个数或者系数矩阵的列数)。
若齐次线性方程组的系数矩阵A的秩r(A)=r<n,则它有基础解系,且基础解系(解空间中的一组基)所含解向量的个数为n-r.
推论1:
并非所有的非齐次线性方程组都有解,有解时,解的情况也不一样。
当a=0时,系数矩阵的秩为1,基础解系包含的向量数 n-1;
当时, 系数矩阵的秩为n-1,基础解系包含的向量数 1;
注意例2不可以使用行列式求解,因为参数不在系数里,之前使用的行列式是系数行列式。
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